Сайт Информационных Технологий

О КОЛИЧЕСТВЕННОЙ ОЦЕНКЕ ВОЗМОЖНОСТИ СРЕДСТВАМИ ЛОГИКИ АНТОНИМОВ

Я.Я. Голота, Д.С. Фальков

ЦНИ Санкт-Петербургского государственного технического университета

Abstract – Method of quantitative assessment of degree of possibility of event realization is considered in the report. Antonyms logic, that was considered at the previous conferences on soft computing, laid in the basic of the method. The modus ponens rule was a point of departure when method of assessment of event possibility was developed.

Допустим, что исследователя интересует возможность осуществления какого-то события. Обозначим это событие посредством М. Допустим, что исследователь установил, что событие М может произойти, если будет реализован комплекс условий S. S - одно или несколько событий, каким-то образом связанных между собой. Из этого сложного события не следует событие М со сто процентной уверенностью. В каких-то случаях событие М наступает, а в каких-то нет. Если событие М относится к массовым событиям, если обстоятельства изучения события М позволяют собрать статистический материал, делающий возможным корректное использование математического аппарата теории вероятностей, то задача сведётся к вычислению вероятности события М. Думается, что не будет большим отступлением от традиций теории вероятностей в обозначении искомых вероятностей, если вероятность в нашем случае обозначим посредством P(М/S). Допустим, что в силу каких-то причин нет условий для корректного вычисления вероятности P(M/S). Можно ожидать, что в поисках подходящих средств решения интересующей исследователя задачи, он обратится к логике. С уверенностью можно сказать, что с помощью математической логики не удастся решить задачу количественной оценки степени возможности события М. Почему? Хотя бы потому, что математическая логика рассматривает двузначные оценки И и Л (истина и ложь) и её аппарат не позволяет говорить ни о какой “степени возможности”. Однако математическая логика чуть слышно предлагает подсказку, которой мы воспользуемся.

В математической логике применяется правило вывода, латинское название которого (modus ponens). Это правило символически выглядит так:

 

где А, В и АE В - высказывания. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно. Читается рассматриваемое правило следующим образом: если известно, что высказывание А влечёт (имплицирует) высказывание В, а также известно, что А истинно, то, следовательно, В истинно. Кажется очевидным, что в правиле modus ponens существенным является не то, что высказывания могут быть именно истинными и ложными, а то, что в качестве значений (оценок) высказываний выступают только два возможных истинностных значения. Их можно было бы символизировать, например, единицей и нулём. В этом случае правило вывода звучало бы следующим образом: если импликация АE В оценена единицей (импликации поставлена в соответствие единица) и А оценили единицей, то и В следует оценить единицей. Понятно, что если бы взяли не {0, 1}, а какое-нибудь другое, тоже двухэлементное множество, например {0, 100}, то результат был бы аналогичный: из оценки каждого из высказываний АE В и А числом 100 следует, что тем же числом 100 оценивается и высказывание В. Допустим, что рассматриваем не двухэлементное множество {0, 100}, а отрезок [0, 100]. Очевидно, в этом случае правило modus ponens, применить не удастся, если в качестве оценок брать любые числа от нуля до ста.

В логике антонимов, с началами которой можно познакомиться, например, по докладам на конференции по мягким вычислениям в позапрошлом и прошлом годах, а также по публикациям, указанным в тезисах докладов, рассматриваются связки a, b, g, d. Их частным случаем в двухзначной логике являются соответственно связки O , \/, &, E . То обстоятельство, что комплекс условий S влечёт за собой событие М, в логике антонимов можно символически записать как SdM. Последнее же выражение есть сокращённая форма записи формулы aSbM. Согласно логике антонимов справедлива следующая цепочка равенств:

H[SdM] = H[aSbM] =

=H[aS] + H[M|aaS] = H[aS] + H[M|S].

Таким образом, в логике антонимов справедливо равенство:

H[SdM] = H[aS] + H[M|S].

Откуда следуют равенства:

H[M|S] = H[SdM] - H[aS] , (1)

H[M|S] = H[SdM] + log2[1-2-H[S]]. (2)

Если на знакосочетание SdM смотреть как на формализацию причинно-следственной зависимости между событиями S и М (реализация комплекса условий S влечёт событие М), то H[SdM] - числовая оценка степени возможности того, что S влечёт М, H[M|S] - число, которое ставится в соответствие событию М при условии S, а H[S] - число, которое ставится в соответствие комплексу условий S.

На S можно смотреть как на комплекс причин, одним из следствий которых является событие М (S - причина, М – следствие). Такая терминология естественнее, ближе к онтологическому подходу, к формализму логики противоположностей - логики антонимов. Импликация, рассматриваемая в математической логике, такого истолкования, вообще говоря, не предполагает. Формальная логика далека от онтологии. В противоположность ей логика антонимов близка к человеческой практике, как, впрочем, и все другие непрерывнозначные логики. Обратимся к равенствам (1) и (2).

Они говорят о том, что для того, чтобы знать степень возможности события М, надо знать степень возможности того, что из S следует М, а также надо знать либо степень возможности того, что комплекс причин (условий) S не будет иметь места (равенство 1), либо степень возможности того, что причины S будут иметь место (равенство 2). H[S] - оценка осуществимости причин S, а H[aS] - оценка того, что причины S не будут иметь места. Итак, для оценки степени возможности события М при реализации условий S, являющихся причинами этого события, мало знать степень возможности либо степень невозможности этих условий-причин, но надо знать ещё степень возможности следования М из S.

Если следовать интуиции, то при оценивании степени возможности события В, которое является следствием причины (причин) А, роль первой скрипки играет причина A и шансы её реализации H[A]. На самом же деле, если вникнуть в логическую суть вещей, решающую роль играет характер связей, устанавливаемых между причиной и следствием (AdB) и степень возможности их осуществления (H[AdB]). Это в полной мере вскрывает логика антонимов и убедительно демонстрирует приводимая в данных тезисах таблица 1. Действительно, проанализируем таблицу построчно. Если просматривать любую строку таблицы слева направо (т.е. в направлении роста значений H[AdB] при фиксированном H[A]), то происходит

таблица 1

Количественная оценка степени возможности события-следствия В (Н[В|А]) при условии, что известны степени возможности события-причины А (Н[А]) и известны степени возможности причинно-следственной зависимости событий А, В (Н[АdВ])

H[AdB]

H[A]

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0,1

0

6,1

16,1

26,1

36,1

46,1

56,1

66,1

76,1

86,1

96,1

0,2

0

7,05

17,05

27,05

37,05

47,05

57,05

67,05

77,05

87,05

97,05

0,3

0

7,59

17,59

27,59

37,59

47,59

57,59

67,59

77,59

87,59

97,59

0,4

0

7,95

17,95

27,95

37,95

47,95

57,95

67,95

77,95

87,95

97,95

0,5

0

8,23

18,23

28,23

38,23

48,23

58,23

68,23

78,23

88,23

98,23

0,6

0

8,44

18,44

28,44

38,44

48,44

58,44

68,44

78,44

88,44

98,44

0,7

0

8,62

18,62

28,62

38,62

48,62

58,62

68,62

78,62

88,62

98,62

0,8

0

8,77

18,77

28,77

38,77

48,77

58,77

68,77

78,77

88,77

98,77

0,9

0

8,89

18,89

28,89

38,89

48,89

58,89

68,89

78,89

88,89

98,89

1

0

9

19

29

39

49

59

69

79

89

99

10

0

9,9986

19,9986

29,9986

39,9986

49,9986

59,9986

69,9986

79,9986

89,9986

99,9986

20

0

9,9999

19,9999

29,9999

39,9999

49,9999

59,9999

69,9999

79,9999

89,9999

99,9999

30

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

40

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

50

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

60

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

70

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

80

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

90

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

быстрый рост значений Н[В|А], достигая больших значений. Такое происходит даже при малых значениях H[B], что наглядно демонстрирует верхняя часть таблицы. Если просматривать таблицу сверху вниз (т.е. в направлении роста значений H[A] при фиксированном значении Н[АdВ]), то становится очевидным, что степень возможности Н[B|A] растёт, но никогда не становится больше Н[АdВ]. Таким образом, если хотите увеличить шансы чего-то, заботьтесь о причинно-следственных зависимостях, выражаемых в языке логики антонимов формулой AdB.

Из равенств (1) и (2) видно, что числовые значения Н[B|A] и Н[АdВ] связаны между собой. Отсюда вытекает, что и выражения В|А, АdВ, отражающие качественную сторону задачи, тоже связаны между собой. Никак нельзя сказать, что знакосочетание В|А выражает следование В из А. Однако в какой-то мере событие А (если понимать под объектами изучения А, В события) обусловливает событие В. Этим, в частности, оправданно чтение знакосочетания В|А, предлагаемое в [1], “В при условии А”. Остановимся на различиях выражений В|А и АdВ. Рассмотрим Н[B|A] и Н[АdВ]. Пусть Н[А]® 0. В этом случае Н[АdВ]® ? , а Н[B|A]® ? -? , т.е. Н[АdВ] обращается в бесконечность, а вычисление Н[B? A] приводит к неопределенности вида ? -? .

Вспомним, как в теории вероятностей вычисляется условная вероятность Р(А/В). Согласно теореме умножения вероятностей имеем:

(3)

Видим, что и в этом случае, чтобы знать условную вероятность Р(А/В), надо знать вероятность условия В (Р(В)) и вероятность произведения событий АВ Р(АВ). Усматривается некоторая аналогия между равенствами (2) и (3). вероятность Р(АВ) и оценка Н[ВdА] в каком-то смысле аналогичны друг другу (хотя бы в том, что они необходимы для вычисления значений величин, указанных в левых частях равенств (2) и (3)).

Литература

  1. Голота Я.Я. О формализации логики неполных знаний (логики антонимов) // Логика и развитие научного знания: Межвуз. сб. под ред. И.Н. Бродского, Я.А. Слинина. – СПб.: издат. С.-Петербургского универ., 1992. - С. 92-112.

Site of Information Technologies
Designed by  inftech@webservis.ru.